Геометрия с Ниловым

Оказывается, теорему о прямой Гаусса можно доказать при помощи конструкции окружности Эйлера.

Теорема (Прямая Гаусса). В выпуклом четырехугольнике cередины диагоналей и середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Воспользуемся следующим известным утверждением (докажите его!).

Утверждение. Произвольный выпуклый четырехугольник аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник с двумя противоположными прямыми углами.

Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее углы A и C в прямые. Тогда точки A', X', C' и Z' будут лежать на окружности Эйлера треугольника E' B' F'. Легко понять, что (красный) четырехугольник A'X'C'Z' будет дельтоидом, поэтому диагональ X'Z' (диаметр окружности) будет делить пополам отрезок A'C'. Значит, это было так и для исходного четырехугольника ABCD.

P.S. Было бы интересно посмотреть на другие приложения утверждения про аффинное преобразование.

❤5🔥3👍1

www.tgoop.com/geometry_nilov/424

554 viewsedited  Oct 12 at 05:15

Оказывается, теорему о прямой Гаусса можно доказать при помощи конструкции окружности Эйлера.

Теорема (Прямая Гаусса). В выпуклом четырехугольнике cередины диагоналей и середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Воспользуемся следующим известным утверждением (докажите его!).

Утверждение. Произвольный выпуклый четырехугольник аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник с двумя противоположными прямыми углами.

Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее углы A и C в прямые. Тогда точки A', X', C' и Z' будут лежать на окружности Эйлера треугольника E' B' F'. Легко понять, что (красный) четырехугольник A'X'C'Z' будет дельтоидом, поэтому диагональ X'Z' (диаметр окружности) будет делить пополам отрезок A'C'. Значит, это было так и для исходного четырехугольника ABCD.

P.S. Было бы интересно посмотреть на другие приложения утверждения про аффинное преобразование.

BY Геометрия с Ниловым