Докажите, что красный четырехугольник - равнобокая трапеция

На плоскости проведено n прямых общего положения (никакие три не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны). Докажите, что среди частей, на которые они делят плоскость, не меньше a) n/3; b) (n-1)/2; c)* n-2 треугольников.

P.S. См. статью https://kvant.mccme.ru/1992/11/treugolniki_i_katastrofy.htm

Через центр красной окружности провели >2 кругов, которые ее касаются. Тогда длина границы фигуры, являющейся объединением этих кругов (сумма длин синих дуг), равна длине красной окружности.

Во вписанном четырехугольнике окружности, проходящие через точку пересечения диагоналей и середины смежных сторон, равны

Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата, как показано на рисунке. Докажите, что площадь синего пятиугольника в 12 раз меньше площади красного двенадцатиугольника

Каждую сторону выпуклого четырехугольника разделили на четыре равные части, после чего соединили соответствующие точки разбиения на противоположных сторонах, как показано на рисунке. Образовавшиеся четырехугольники покрасили шахматным образом. Докажите, что суммы площадей синих и белых четырехугольников равны.

Несложно провести рассуждение (подсказка: параллелограмм Вариньона) для аналогичной картинки в случае, когда каждая сторона делится на равное число частей, являющееся степенью двойки (например, на 8, как у шахматной доски). А что будет, если делить каждую сторону на четное число равных частей, не являющееся степенью двойки?

Слева: "Фокально-директориальное" свойство окружности, дважды касающейся коники. Для произвольной точки P на конике отношение t / d равно эксцентриситету.

Справа: "Бифокальное" свойство дважды касающихся окружностей коники. Если P лежит между прямыми, соединяющими точки касания, то t_1 + t_2 = const. Если P лежит вне полосы между этими прямыми, то |t_1 - t_2| = const.

Теорема Марион Волтер:

Каждую из сторон треугольника разделили на три равные части и соединили точки деления с противоположной вершиной. Тогда площадь образовавшегося центрального шестиугольника составляет одну десятую площади исходного треугольника.

Теорема была обнаружена в 1992 году в программе The Geometer's Sketchpad (аналоге Geogebra). См. также https://en.wikipedia.org/wiki/Marion_Walter

В 7 классе проходят, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В 1904 году Фрэнк Морли обнаружил (опубликовал в 1924), что точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника (синий треугольник). Оказывается, точки пересечения продолжений сторон треугольника Морли с трисектрисами лежат на сторонах другого (красного) равностороннего треугольника, стороны которого параллельны сторонам треугольника Морли.

Новый сайт журнала «Квант» — https://www.kvant.digital/ !

7 октября 2025 года, Москва. Лаборатория популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН запустила новый современный сайт журнала «Квант» со сканами высокого качества и возможностями поиска: https://www.kvant.digital/ . Журнала, в котором собраны бесценные материалы, журнала, тиражи которого в 1970-х годах доходили до 385 000 экземпляров в месяц (история журнала, неразрывно связанная с историей нашей страны, представлена в разделе «История»).

Старые номера журнала отсканированы заново, по возможности исправлены типографские огрехи. Сайт позволяет искать по автоматически распознанным изображениям представленных номеров журнала. Попробуйте на странице «Архив номеров» ввести интересующее вас словосочетание. В качестве примера: кубик Рубика. По клику на номер с жёлтым фоном открывается страница номера с подсвеченными найденными словами. А если вы школьником отправляли решения в «Задачник „Кванта“», то можете попробовать найти свою фамилию в списках читателей, приславших решения.

Возможности нового сайта кратко описаны на странице «О сайте».

Цель проекта: представить уникальные материалы журнала в удобном для пользователя виде – в том числе, в виде выверенных html/TeX-текстов. В качестве примера – первые номера журнала и новый номер, некоторые другие материалы. Полистать журнал — занятие увлекательное, затягивающее и полезное: находишь для себя много нового интересного. Предлагаем пользователям совместить изучение материалов с участием в создании html-версии опубликованных материалов: представить в формате TeX понравившиеся тексты. В частности, это может быть школьный проект или студенческая практика. Так постепенно все статьи будут переведены в формат, которым действительно удобно пользоваться, в том числе, с мобильных устройств.

Неизменная с 1970 года надпись на обложке журнала «Квант»: научно-популярный физико-математический журнал. Интересных открытий!

Задача Ф. Ивлева с заочного тура олимпиады Шарыгина 2020 года.

Докажите, что в неравнобедренном треугольнике одна из окружностей, касающихся вписанной и описанной окружностей внутренним, а одной из вневписанных внешним образом, проходит через вершину треугольника.