tgoop.com/practicum_math/886
Create:
Last Update:
Last Update:
Жизнь Пи 2: случайности и закономерности
Согласитесь, сама цепочка знаков после запятой мало кому нужна. Но вот поиски новых способов вычислять π рождают мощнейшие алгоритмы и загадочные последовательности, которые человеку только предстоит доказать.
Замечательный метод приближённого вычисления π:
Если взять L=2 и l=1 (допустим, что расстояние между линиями вдвое больше длины иглы), то искомая вероятность будет равна 1/π.
Тогда π можно оценить как общее количество бросков, делённое на количество пересечений. Проще всего это сделать, взяв побольше спичек, нарисовать на большом листе бумаги параллельные линии и бросить спички. Далее подсчитать, сколько спичек пересекло линии, и разделить общее количество спичек на число пересечений.
Так мы получим приближение π! Причём чем больше спичек, тем точнее приближение. Очень наглядно это показано на видео (увидели его тут).
Конечно, метод не эффективен для практических вычислений — сходимость медленная, и нужны тысячи бросков для хорошей точности. Но какая идея: π можно поймать статистически, через случайный эксперимент!
Трудно сказать, но в качестве пищи для размышлений приведём ещё более необычную историю.
Выберите два случайных целых числа. Какова вероятность, что у них нет никаких натуральных общих делителей, кроме единицы? Иными словами — что они взаимно просты? Да-да, как в недавнем меме.
Ответ поражает: примерно 61%, а более точно 6/π². Пи появляется в задаче о целых числах и делимости, что далеко от геометрии.
Этот результат принадлежит Леонарду Эйлеру и связан с дзета-функцией Римана. В точке 2 эта функция даёт значение π²/6.
Эйлер доказал это ещё в 1735 году, решив знаменитую Базельскую проблему. А вероятность того, что два числа взаимно просты, оказывается обратно пропорциональна значению дзета-функции в точке 2.
Объясняется так: вероятность, что оба числа делятся на простое p, равна 1/p², а вероятность, что не делятся — 1−1/p². Перемножая по всем простым числам и используя связь с дзета-функцией, мы получаем этот элегантный результат.
Если копать глубже, π всплывёт и в других сюжетах: нормальное распределение, формула Стирлинга, множество Мандельброта. Константа проходит через геометрию, анализ, теорию чисел, вероятность.
Видим в этом очередное напоминание: математика едина и бесконечно красива!
Согласны? Тогда поддержите лонгрид реакциями. А если было сложно советуем две статьи с классными визуализациями: эту и эту. Вопросы в комментах также приветствуются.
#как_устроено