tgoop.com/practicum_math/883
Create:
Last Update:
Last Update:
Задача Мондриана на самом деле не про геометрию...
Да и вообще, будем честны, Мондриан не придумывал никаких задач — это сугубо математическая самодеятельность. Так вот, если здесь не пугаться множества обозначений, то задача легко решается как линейно-алгебраическая.
Решение:
1️⃣ Пронумеруем квадраты, из которых состоит прямоугольник, как на рисунке. Пусть x и y — ширина и высота большого прямоугольника, а сторона квадрата с номером i равна aᵢ.2️⃣ Теперь нужно составить уравнения — они будут отражать «стыковку» квадратов: где один квадрат дополняет другой до полной длины или высоты.3️⃣ Например, маленький белый квадрат вместе со 2-м дают длину 1-го, а белый с 4-м по высоте равен сумме 5-го и 6-го. Так мы получаем систему линейных уравнений для неизвестных x, y, aᵢ:
a₂ = 1 + a₅
a₃ = a₂ + a₅
a₁ = a₂ + 1
a₄ = a₁ + 1
1 + a₄ = a₅ + a₆
a₇ = a₄ + a₆
a₈ = a₆ + a₇
a₆ + a₈ = a₅ + a₃
x = a₁ + a₂ + a₃
y = a₁ + a₄ + a₇4️⃣ Дальше последовательно выражаем переменные через a₅. Из a₂ = 1 + a₅ следует a₃ = 1 + 2a₅ и a₁ = 2 + a₅, откуда a₄ = 3 + a₅.5️⃣ Заметим, что a₆ = 1 + a₄ − a₅ = 4. Продолжая по цепочке, находим все стороны квадратов и самого прямоугольника: x =32 , y =33 .
Этот способ универсален — если бы исходный прямоугольник разбили на большее число квадратов, принцип решения был бы аналогичный. Но если в конкретно нашем случае обозначить неизвестные иначе, мы получим...
более короткое решение:
1️⃣ Достаточно длину стороны 5-го квадрата принять за x, тогда для 2-го, 1-го и 4-го квадратов получается последовательно: x+1, x+2, x+3; для 3-го — 2x+1.2️⃣ Сторона 6-го квадрата вычисляется как 1+(x+3)−x = 4, соответственно, у 7-го квадрата — x+7, а у 8-го — x+11.3️⃣ Теперь сторону 3-го квадрата можно выразить через длины сторон 5-го, 6-го и 8-го: (x+11)+4−x=15.4️⃣ Решив уравнение 2x+1=15, получаем, что x=7 и, соответственно, исходный прямоугольник имеет размеры32 на33 .
#задача
