tgoop.com/physics_lib/14478
Last Update:
Рассмотрим множество из n точек на единичной сфере в трёхмерном пространстве. Предположим, что никакие три точки не лежат на одном большом круге (т.е. находятся в общем положении). Это означает, что любые три точки образуют невырожденный сферический треугольник. Каждую точку мы красим в один из k цветов.
Вопрос: Каково минимальное число n(k), при котором для любой раскраски n(k) точек в k цветов обязательно найдётся одноцветный набор точек, образующий тупоугольный сферический треугольник?
Примечание: Сферический треугольник называется тупоугольным, если хотя бы один из его углов строго больше 90°.
Связь с классическими задачами: Эта задача является далёким и сложным «родственником» классической теории Рамсея. Вместо поиска моноклики в графе мы ищем конфигурацию точек с определённым геометрическим свойством (тупоугольность). Она также перекликается с задачами о хроматическом числе пространства, но на сфере и с жёстким геометрическим условием. Почему это интересно?
▪️ Геометрический комбинаторный поворот: Сочетание дискретной математики (раскраска) и непрерывной геометрии (свойства на сфере).
▪️ Нетривиальная нижняя оценка: Уже для k=2 (два цвета) задача неочевидна. Можно ли разместить много точек двух цветов так, чтобы все одноцветные треугольники были остроугольными? Это сложная задача на конструкцию.
▪️ Верхняя оценка с помощью Рамсея: Существование числа n(k) доказывается с помощью применения Теоремы Рамсея для гиперграфов, но полученная этим путём оценка будет астрономически большой. Интересно найти более разумные, «человеческие» оценки.
▪️ Открытость: Точные значения n(k) вряд ли известны даже для малых k (напр., k=2, 3). Это порождает пространство для дискуссий, гипотез и поиска частных случаев.
1. Какая конструкция для k = 2 даёт хорошую нижнюю оценку? Может использовать правильный октаэдр?
2. Как можно улучшить верхнюю оценку, используя не общий теорему Рамсея, а специфику геометрии сферы?
3. Верно ли утверждение, если заменить тупоугольность на остроугольность?
4. Как задача упростится, если мы будем рассматривать точки не на сфере, а на окружности?
Эта задача бросает вызов интуиции и требует как комбинаторной изобретательности, так и геометрического зрения. #математика #олимпиады #геометрия #комбинаторика #теория_вероятностей #math #geometry #задачи
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
