tgoop.com/physics_lib/13892
Last Update:
💾 Скачать книгу
Примеры трансцендентных чисел:
▪️ число π = 3,1415;
▪️ число Эйлера е = 2,71828;
▪️ постоянная Гельфонда, равная е в степени π;
▪️ десятичный логарифм любого натурального числа, кроме 10 в степени n (тогда этот логарифм по определению равен n);
▪️ синус, косинус и тангенс любого ненулевого алгебраического числа. (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).
Впервые понятие трансцендентного числа (и сам этот термин) ввёл Леонард Эйлер в труде «De relation inter tres pluresve quantitates instituenda» (1775 год). Эйлер занимался этой темой ещё в 1740-е годы. Он заявил, что значение логарифма logₐb для рациональных чисел a и b не является алгебраическим («радикальным», как тогда говорили), за исключением случая, когда b = aᶜ для некоторого рационального c. Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века.
Существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль в 1844 году, когда опубликовал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. Лиувилль построил конкретные примеры («числа Лиувилля»), ставшие первыми примерами трансцендентных чисел.
В 1873 году Шарль Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов. В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа π и неразрешимость задачи квадратуры круга.
В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если a ≠ 0, 1, a — алгебраическое число, и b — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что aᵇ — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число 2^sqrt(2). Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными. #математика #math #алгебра #algebra
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
