Добрый день. Во вторник, 15 июля в 15:30-16:30 по Москве, будет математический кружок 🟢

Title: Графы касающихся окружностей и сфер

Speaker: Нилов Ф.К.

Аннотация:

Пусть на плоскости дано конечное число окружностей, некоторые из которых касаются, но при этом никакие три не касаются друг друга в одной точке. Теперь отметим центры всех окружностей и соединим отрезками центры касающихся окружностей. Получился некоторый граф. Как могут быть устроены такие графы? Какие полные, двудольные, планарные, регулярные графы могут быть реализованы данным способом? Какое у них может быть хроматическое число? Что происходит в других размерностях? Возникает ряд вопросов, среди которых многие еще открыты и ждут своего ответа.

Zoom meeting link:
Zoom - Meeting ID: 853 1771 8785 Passcode: 549695
Link: https://us02web.zoom.us/j/85317718785?pwd=XS0bILZaREyt00pA2EJlu1zxaEHbDN.1

Приходите!

Условия 1 дня

Научно-популярный фильм "Что такое теория относительности?" с Георгием Вициным:

https://youtu.be/IsuwQsDYJrk?si=NFV4Ipsstw1U_hiL

Теорема Штейнера. На плоскости даны четыре прямые общего положения (никакие три не пересекаются в одной точки, никакие две не параллельны). Для каждой тройки прямых есть четыре окружности, которые их касаются. Таким образом, в общем случае получаем 16 окружностей, касающихся трех из четырех прямых. Тогда a) центры этих 16 окружностей лежат на 8 окружностях, по 4 центра на каждой.
b) среди этих 8 окружностей 4 лежат в одном пучке, а 4 оставшихся - в другом, перпендикулярном ему.

На картинке изображена одна четверка окружностей, центры которых лежат на одной окружности.

Есть ли что-то схожее в трехмерном пространстве для 5 плоскостей? Что будет, если исходные 4 прямые заменить на окружности?

Кубооктаэдры на воротах крепости Калемегдан в Белграде (фото от подписчиков)

Моя задача из Квантика, кажется, что не по геометрии, но пришла в голову из геометрической конфигурации.

Оказалось, что в группе по изучению французского языка для любых двух девочек есть ровно один мальчик, который нравится им обеим,
и каждый мальчик нравится по крайней мере
трём девочкам. Приведите пример такой группы, в которой учится больше одного мальчика.

Как могут быть устроены такие группы, сколько там может быть мальчиков и сколько девочек?

Сегодня стартует финал олимпиады имени И.Ф. Шарыгина.

Отличная книжка, посвященная олимпиаде.

https://math.ru/lib/files/pdf/olimp/Sharygin.pdf

Мои задачи с текущей олимпиады Шарыгина (вариации задачи Сильвестра с раскрашенными точками):

8.3. Можно ли отметить на плоскости больше шести точек, не лежащих на одной прямой, и раскрасить их в три цвета так, чтобы на любой прямой, проходящей через две разноцветные точки, лежала еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в третий цвет?

9.2. На плоскости отметили несколько точек и раскрасили их в четыре цвета так, что на любой окружности, проходящей через точки трех разных цветов, лежит еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в четвертый цвет. Обязательно ли все отмеченные точки лежат на одной окружности?

Было бы интересно посмотреть, как устроены ВСЕ такие примеры (в авторском решении искомые точки стоятся на кубической кривой). Разумеется, можно посмотреть на аналогичные вопросы для коник или в старших размерностях.

Наш проект на предстоящей конференции Турнира Городов:

https://turgor.ru/lktg/2025/5/5-1-origami-rus.pdf

На фото: гора Малиновая, Урал

Дан неравнобедренный треугольник с целыми сторонами. Могут ли у него быть целыми три высоты/медианы/биссектрисы ?

Любопытные геометрические фокусы:

https://m.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=45036

Видео про задачи об освещении

https://vk.com/video-135395111_456240767?list=956365f869d6e5ea83