Разминка

Синяя точка произвольная
(!) Голубые углы равны

Утренняя разминка

Точка Х на дуге BOC окружности (ВОС) такова, что XZ и YO пересекаются на ВС.
(!) XB + XC = XZ

Утренняя разминка

Катеты АВ и AC прямоугольного треугольника ВАС равны 3 и 4 соответственно.
(!) Чему равно XH

Подсказка к прошлой разминке:
Рассмотрите инверсию относительно (АВС), найдите вписанности и много равных отрезков

Утренняя разминка

Простая, но тем не менее довольно красивая задача.

Даны треугольник ABC и произвольная точка P. Пусть Ha, Hb, Hc – ортоцентры треугольников BPC, APC, APB соответственно.
(!) Площади треугольников ABC и HaHbHc равны.

Вечерняя разминка

Разбор разминки, решение которой никто не оставил в комментариях

1) Пусть D – точка пересечения XZ и OY  (по условию она лежит на BC), E – точка пересечения OX и BC, L – точка пересечения AD и (ABC). Из инверсии относительно (ABC) получаем, что OD × OY = OA², то есть OA – касательная к (ADY), следовательно ∠AYO = ∠DAO = ∠DZO (из вписанности XOZY), тогда DZ = DA.
2) Из инверсии так же получаем, что четырёхугольник AOLY вписанный, значит ∠AYO = ∠ALO, откуда имеем вписанность четырёхугольника DOZL. То есть L – точка Микеля четырёхугольника XAOD, значит есть вписанность XDLY, откуда ∠XYD = ∠XLD, следовательно XL || AZ, значит XD = LD, откуда AL = XZ.
3) Продлим CX до пересечения с (ABC) в точке B'. Тогда так как ∠B'XE равен половине дуги OC, ∠EXB равен половине дуги OB, то эти углы равны, а так как OX содердит диаметр (ABC), то B'X = BX из симметрии.
4) Осталось показать равенство дуг AB' и CL. Они равны так как ∠OAC = ∠OCA и ∠OCX = ∠DAZ.

Утренняя разминка

В четырехугольник ABCD вписана окружность с центром I. Касательные к (AIC) в точках A и C пересекаются в точке Q. Касательные к (BID) в точках B и D пересекаются в точке P.
(!) P, I, Q лежат на одной прямой

Утренняя разминка

(Параллелограмм на картинке не обязательно является ромбом)

Непростая задача

Четырёхугольник ABCD описан около окружности w. Точка I – инцентр треугольника ABC, прямые AC и BD пересекаются в точке P. Луч IP пересекает w в точке Q.
(!) (ACQ) касается w

Ну чтож...
Лучшая задача/задачи в канале в этом году?

Не прошло и года!

Выкладываю решения прошедней Устной олимпиады по геометрии Лицея НИУ ВШЭ.

Желаю насладиться сегодня новогодними салатами, и чтобы Ваши мечты сбывались быстрее, чем были выложены эти решения)

Всех с Новым Годом!!!)

Вот новогодний шедевр от Вовы Конышева, и по совместительству одна из моих любимых задач по планиметрии!

В вписанном четырёхугольнике ABCD P, Q, R, S - середины сторон AB, BC, CD, DA. Оказалось, что они лежат на одной окружности. Эта окружность пересекает AB, BC, CD, DA второй раз в точках T, U, V, W. Отрезки PR, QS, TV, UW высекают четырехугольник Г.
(!) Точка пересечения диагоналей Г совпадает с точкой пересечения диагоналей ABCD

Новый год - новая задача! :)

Еще один забавный факт про описанный четырехугольник. Тут можно найти короткое хитрое решение в строчку. А можно утонуть в счете и прийти в никуда...

Окружность с центром I вписана в четырёхугольник ABCD.
(!) IA⋅IC + IB⋅ID = sqrt(AB⋅BC⋅CD⋅DA)

Новогодняя разминка!

Одна из моих любимых задач по геометрии

Точка К – середина отрезка АІ, где I это центр вписанной окружности
треугольника АВС. Прямые ВІ, СI вторично пересекают окружность (АBC) в точках Во, Со соответственно. На прямых АВо, АСо отмечены точки Р и Q соответственно так, что прямые BK и BP симметричны относительно BI, а прямые CK и CQ симметричны относительно CI
(!) Точки P, Q, І коллинеарны

То самое короткое решение этой задачи.
За a, b, c, d обозначим длины касательных из A, B, C, D к вписанной в ABCD окружности, R ее радиус.
Пусть AB, BC, CD, DA касаются вписанной в ABCD окружности в точках X, Y, Z, T. Пусть X', Z' симметричны X, Z относительно I. Тогда, из теоремы Птолемея для X'YZ'T имеем равенство: YT*XZ = R²*XY*ZT/ac + R²*YZ*XT/bd. Осталось заметить, что AB = YT*IA*IB/2R² (упражнение на площади), и записывая три аналогичных равенства и подставляя их в sqrt(AB*BC*CD*DA), побеждаем.

Утренняя разминка

На внешние биссектрисы углов треугольника опустили перпендикуляры из его вершин
(!) Основания всех перпендикуляров лежат на одной окружности
(!) Её центр лежит на прямой, проходящей через инцентр и центр масс треугольника

Потрясающая задача!

Вписанная в треугольник ABC окружность касается AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁. Три таракана ползут по AA₁, BB₁, CC₁ с постоянными скоростями так, что в какой-то момент времени они находятся в A, B, C, а в другой момент времени они находятся в A₁, B₁, C₁. Пусть в какой-то момент они оказались на одной прямой p₁, а в другой момент на одной прямой p₂.
(!) Прямые p₁ и p₂ перпендикулярны

Через две вершины вписанного четырёхугольника провели произвольную окружность ω. Из двух других вершин провели к ней касательные.
(!) Для любой окружности ω прямая через точки касания проходит через фиксированную точку