Анси логика

У старых известных теорем есть куча разных доказательств! Хочу поделиться любопытным доказательством того факта, что простых чисел бесконечно много. Да, факт известный и это доказательство немного всратое, но его нет на википедии, и я в нём чувствую некоторую прелесть 🥺

Сначала напомню, что функция Эйлера ф(n) - это количество чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n. Есть формула, с помощью которой можно эту функцию вычислить, но я обойдусь без неё, мне определения хватит!
Теперь лемма: если n≥3, то ф(n) чётно. Действительно, если k<n взаимно просто с n, то и n-k тоже взаимно просто с n. Для нечётного n разбили взаимно простые на пары. Если n чётно, то n/2≥2 и не взаимно просто с n. Ну и само n не взаимно просто с n. Доказано!
Теперь допустим, что простых чисел конечно, и рассмотрим число А, являющееся произведением всех простых. Тогда любое число, не превосходящее А и не равное 1, обязано иметь с А общий делитель (ведь А является произведением всех простых!!!). Значит, ф(А)=1. Ну и понятно, что А≥3, так что получаем противоречие с леммой.

🔥12🥰3👍1

www.tgoop.com/ansi_logic/270

723 viewsSep 3, 2024 at 16:50

У старых известных теорем есть куча разных доказательств! Хочу поделиться любопытным доказательством того факта, что простых чисел бесконечно много. Да, факт известный и это доказательство немного всратое, но его нет на википедии, и я в нём чувствую некоторую прелесть 🥺

Сначала напомню, что функция Эйлера ф(n) - это количество чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n. Есть формула, с помощью которой можно эту функцию вычислить, но я обойдусь без неё, мне определения хватит!
Теперь лемма: если n≥3, то ф(n) чётно. Действительно, если k<n взаимно просто с n, то и n-k тоже взаимно просто с n. Для нечётного n разбили взаимно простые на пары. Если n чётно, то n/2≥2 и не взаимно просто с n. Ну и само n не взаимно просто с n. Доказано!
Теперь допустим, что простых чисел конечно, и рассмотрим число А, являющееся произведением всех простых. Тогда любое число, не превосходящее А и не равное 1, обязано иметь с А общий делитель (ведь А является произведением всех простых!!!). Значит, ф(А)=1. Ну и понятно, что А≥3, так что получаем противоречие с леммой.

BY Анси логика