Анси логика

Перекроить круг в квадрат пытались ещё древние греки, и только спустя сотни лет выяснилось, что циркулем и линейкой сделать это невозможно (если коротко, то причина в трансцендентности числа пи). "Тогда ладно" - сказал Тарский и поставил такой вопрос: можно ли порезать круг на конечное число кусочков и собрать из них квадрат? Не спешите давать отрицательный ответ на этот вопрос, потому что:
- теорема Бойяи-Гервина утверждает, что если взять любые многоугольники равной площади, то один из них можно порезать на конечное число кусочков и собрать другой;
- можно разрезать круг на 2 (всего 2!) кусочка, один из них гомотетично растянуть и собрать квадрат (очень красивая задача, на мой взгляд. впрочем, этот же трюк работает с любыми 2 подмножествами плоскости, имеющими непустую внутренность);
- парадокс Банаха-Тарского: можно разрезать шар на 5 кусочков и собрать два таких же шара. Хотя аналогичная конструкция на плоскости невозможна (квадрат должен быть той же площади, что и круг), это наводит на мысль, ну мало ли что бывает.

Если разрешить резать только по прямым и дугам окружностей, то перекроить круг в квадрат не выйдет (это почти очевидно). Разрешаем большее: можно резать по любым "хорошим" (хороший значит жордановый) кривым. Тоже не получится, доказать уже сильно сложнее. Если приплести аксиому выбора, то порезать удастся на примерно 10^40 кусков. Неконструктивно, но порезали! Вот обзорная статья 2003 года про это всё.

Удивительно, но в 2022 году оказалось, что можно порезать круг, чтобы собрать потом квадрат, вполне себе конструктивно на БОРЕЛЕВСКИЕ КУСКИ!!! (А если кусок борелевский, значит, он измеримый.) Вот это построение. Оч сложно, но какова красота 🥰

🎄6👎1

www.tgoop.com/ansi_logic/103

620 viewsMay 12, 2024 at 15:53

Перекроить круг в квадрат пытались ещё древние греки, и только спустя сотни лет выяснилось, что циркулем и линейкой сделать это невозможно (если коротко, то причина в трансцендентности числа пи). "Тогда ладно" - сказал Тарский и поставил такой вопрос: можно ли порезать круг на конечное число кусочков и собрать из них квадрат? Не спешите давать отрицательный ответ на этот вопрос, потому что:
- теорема Бойяи-Гервина утверждает, что если взять любые многоугольники равной площади, то один из них можно порезать на конечное число кусочков и собрать другой;
- можно разрезать круг на 2 (всего 2!) кусочка, один из них гомотетично растянуть и собрать квадрат (очень красивая задача, на мой взгляд. впрочем, этот же трюк работает с любыми 2 подмножествами плоскости, имеющими непустую внутренность);
- парадокс Банаха-Тарского: можно разрезать шар на 5 кусочков и собрать два таких же шара. Хотя аналогичная конструкция на плоскости невозможна (квадрат должен быть той же площади, что и круг), это наводит на мысль, ну мало ли что бывает.

Если разрешить резать только по прямым и дугам окружностей, то перекроить круг в квадрат не выйдет (это почти очевидно). Разрешаем большее: можно резать по любым "хорошим" (хороший значит жордановый) кривым. Тоже не получится, доказать уже сильно сложнее. Если приплести аксиому выбора, то порезать удастся на примерно 10^40 кусков. Неконструктивно, но порезали! Вот обзорная статья 2003 года про это всё.

Удивительно, но в 2022 году оказалось, что можно порезать круг, чтобы собрать потом квадрат, вполне себе конструктивно на БОРЕЛЕВСКИЕ КУСКИ!!! (А если кусок борелевский, значит, он измеримый.) Вот это построение. Оч сложно, но какова красота 🥰

BY Анси логика