Задача 61:

Пусть I - инцентр треугольника ABC, а его вписанная окружность касается сторон AC и AB в точках D и E. Окружности (BID) и (CIE) пересекают (ABC) вторично в точках F и G. Докажите, что точки D, E, F, G лежат на одной окружности

канал жив?

Задача 62:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Лучи BA и CD пересекаются в точке E, а лучи AD и BC в точке F. Оказалось, что ED = FD. Докажите, что инцентры треугольников ADE и CDF равноудалены от O

Задача 63:

На дугах AC и AB окружности (ABC) выбраны точки P и Q соответственно так, что PQ || AB. R и S - основания перпендикуляров из P и Q на AC и AB соответственно. Докажите, что R и S равноудалены от середины отрезка PQ

Задача 64:

Дан четырехугольник ABCD, описанный вокруг окружности с центром I. Пусть P - точка внутри ABCD такая, что периметры треугольников APB, BPC, CPD и DPA равны. На отрезках PA, PB, PC и PD откладываются на равное расстояние от P точки A', B', C' и D' соответственно. Докажите, что прямые A'C', B'D' и PI пересекаются в одной точке

Задача 65:
Авторы - Пучков Пëтр, GeoGen

В треугольнике ABC Ш_{BAC} - точка Шалтая для вершины A. D - проекция Ш_{BAC} на AC. Б_{ADB} - точка Болтая треугольника ADB для вершины D. Прямая AБ_{ADB} пересекает BC в точке E.
Докажите, что окружности (AШ_{BAC}C) и (BБ_{ADB}E) касаются

Задача 66:

В треугольнике ABC на стороне BC, как на основании, построены в обе стороны равнобедренные прямоугольные треугольники BPC и BQC. Прямые BP и BQ пересекают прямую AC в точках X и Y соответственно. Прямые CP и CQ пересекают прямую AB в точках Z и T соответственно. Докажите, что XZ // YT

Задача 67:
Автор — Ким Пётр

В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны точки D и E соответственно таким образом, что DE параллельно BC. Точка F на BC выбрана таким образом, что четырёхугольник ADFE — описанный.
Доказать, что (DEF) касается вписанной окружности треугольника ABC.

Задача 68:
Автор — Ким Пётр

Лучи l и m образуют угол, в который вписаны окружности a и b. Окружность c касается a внутренним образом, а b — внешним. Окружность d касается a внешним образом, а b — внутренним. Точки A,B,C,D — пересечения c с лучами l и m. Точки X,Y,Z,T — пересечения d с лучами l и m.
Докажите, что из набора (A,B,C,D) и из набора (X,Y,Z,T) можно выбрать по паре точек таким образом, что четырёхугольник (невырожденный), образованный ими будет (не обязательно одновременное выполнение обоих условий):
а) вписанным
б) описанным

Задача 69:

Пусть точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC. Касательные к окружностям (BPC) и (BQC) в точках P и Q соответственно пересекаются в точке R. Докажите, что (ABC), (PQR) и AR имеют общую точку

Задача 70:

Четырехугольник ABCD описан вокруг окружности с центром I. Пары лучей BA, CD и AD, BC пересекаются в точках E и F соответственно. O_F и O_E - центры (ABF) и (CBE) соответственно. Докажите, что угол DIO_F прямой тогда и только тогда, когда угол DIO_E прямой

Задача 71:

Пусть AD, BE, CF - высоты остроугольного треугольника ABC. EF пересекает меньшие дуги AB и AC окружности (ABC) в точках X и Y соответственно. BX и BY пересекает DF в точках P и Q соответственно. CX и CY пересекает DE в точках R и S соответственно. Докажите, что точки P, Q, R, S, X, Y лежат на одной окружности

Задача 72: (авторка)

Пусть M - середина стороны BC треугольника ABC. X и Y - основания перпендикуляров из M на AC и AB соответственно. H_AXB и H_AYC - ортоцентры понятно каких треугольников. Докажите, что точки H_AXB, H_AYC, B, C лежат на одной окружности

Задача 73: [отбор в тг10] [[авторка]]

M - центр масс остроугольного треугольника ABC, а BP и CQ - его высоты. Лучи MP и MQ пересекают (ABC) в точках R и S. Оказалось, что AM = BC. Докажите, что прямая SR проходит через ортоцентр ABC

Задача 74: [ЮМТ2025] [[опять авторка >_<]]

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC отметили точки Ib и Ic - центры вневписанных окружностей напротив вершин B и C соответственно. Пусть D - проекция точки A на прямую BC. Точка X - ортоцентр треугольника IbIcD. Пусть Y и Z - точки пересечения прямой BC с прямыми IbX и IcX соответственно. Докажите, что окружности (ABC) и (XYZ) касаются

Кстати, картинка белая

Задача 75: [ЮМТ2025]

X и Y - точки касания касательных из центра масс треугольника ABC к его вписанной окружности. Докажите, что X и Y изотомически сопряжены в ABC

Ура, еще одна задачка от меня и Дани Игнатьева на ЮМТ

Немного о том, как была придумана эта задача:

Сидел я и придумывал тестовые задачи для отбора в т-геометрию и задался вопросом:

Задача 75 и 3/4: Сколько в треугольнике существует пар изогонально сопряженных точек, обе из которых лежат на вписанной окружности? Тот же вопрос для описанного четырехугольника? (укажите все возможные варианты)

В итоге 2ой вопрос попал в вариант отбора. Но отсюда сразу следует такой естественный вопрос: А сколько таких пар точек для изотомического сопряжения? А для произвольного проективного сопряжения? (изогональное и изотомическое сопряжения это I-сопряжение и M-сопряжение, т.е. частные случаи проективных сопряжений)

Отличие от случая инцентра в том, что инцентр всегда лежит внутри вписанной окружности, а вот точка P при P-сопряжении может быть как внутри, так и вне (да, да, на окружности тоже может быть). Если она внутри, то таких пар точек 3: пересечения прямых, образованных точками пересечения прямых B1C1 с AP, A1B1 с CP, A1C1 с BP, с вписанной окружностью. Если же P снаружи, то добавляется пара точек, являющихся пересечениями поляры P с вписанной окружностью, и сопряженных пар в итоге 4. Отсюда и получилась задача, которая была на финале ЮМТ.

А конструкция с картинки является леммой для доказательства утверждений про колличество пар P-сопряженных точек: зеленые прямые P-сопряжены для верхнего угла <=> пунктирные прямые проходят через синие точки, где синие прямые - это AP и дополняющая AB, AC, AP до гармонической четверки

Задача 76:

Пусть I - инцентр ABC, D - точка касания вписанной с BC, P - проекция I на сер пер к AD. Докажите, что углы BPI и CPI равны

Чат для обсуждения геометрии


Около 4 месяцев назад был закрыт чат канала Олимпиадная Геометрия, ставший большим централизованным местом для обсуждения геометрии. После закрытия того чата была предпринята попытка полного отказа от цензуры, которая не увенчалась успехом по понятным причинам, поэтому:

Мы — Юсуф Нагуманов, Дима Герасимов и Петя Ким представляем Вам новый чат для обсуждения геометрии.
Идея заключается в создании крупного модерируемого чата, в котором будет исключительно здравое обсуждение геометрии разного уровня.

Заходите, всем будем рады:
https://www.tgoop.com/olympgeomchat