Mathematical Models of the Real World

Разделение квадрата на мелкие квадраты и электротехника

В 1903 году Макс Ден сформулировал задачу, заключавшуюся в разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов разной площади. Здесь принципиально то, что все малые квадраты должны быть различны, в случае возможности иметь одинаковые квадраты задача имеет достаточно просто решение. Долгое время подобное разбиение считалось недостижимым, однако в 1939 году группа из четырех студентов Тринити-колледжа Кембриджского университета представила первые примеры решения этой задачи.

Ключевым открытием стало преобразование геометрической проблемы в терминологию электрических цепей с использованием законов Кирхгофа. В этой интерпретации каждый малый квадрат моделируется как резистор, где его линейный размер эквивалентен величине сопротивления. Горизонтальные границы между квадратами функционируют как узлы электрической схемы, а вертикальные разделения – как контуры или замкнутые цепи.

Первый закон Кирхгофа, который формулирует правило сохранения тока в узле (сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, покидающих его), в данном контексте означает, что длины сторон, сходящихся в узле, должны балансироваться. Второй закон, требующий, чтобы алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру равнялась нулю, обеспечивает сохранение пропорций и взаимосвязь размеров квадратов при обходе контура. Таким образом, исходная задача сводится к решению системы линейных уравнений, где переменными выступают длины сторон составляющих элементов разбиения.

Дальнейшие исследования привели, в частности, в 1978 году, к нахождению минимального разбиения квадрата на 21 меньший квадрат — решение, которое было получено посредством системы из 26 уравнений.

Подробно задача описана в книгах, которые легко найти в Интернете. Кстати, разбиение на 21 квадрат во время написания книг было неизвестно - компьютеров было не так много и они были слабыми.
Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения, 1971.
Яглом И.М. Как разрезать квадрат, 1968

За идею спасибо каналу "Математическая эссенция"
https://www.tgoop.com/math_essence

www.tgoop.com/MathModels/1247

279 viewsMay 19 at 14:29

Разделение квадрата на мелкие квадраты и электротехника

В 1903 году Макс Ден сформулировал задачу, заключавшуюся в разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов разной площади. Здесь принципиально то, что все малые квадраты должны быть различны, в случае возможности иметь одинаковые квадраты задача имеет достаточно просто решение. Долгое время подобное разбиение считалось недостижимым, однако в 1939 году группа из четырех студентов Тринити-колледжа Кембриджского университета представила первые примеры решения этой задачи.

Ключевым открытием стало преобразование геометрической проблемы в терминологию электрических цепей с использованием законов Кирхгофа. В этой интерпретации каждый малый квадрат моделируется как резистор, где его линейный размер эквивалентен величине сопротивления. Горизонтальные границы между квадратами функционируют как узлы электрической схемы, а вертикальные разделения – как контуры или замкнутые цепи.

Первый закон Кирхгофа, который формулирует правило сохранения тока в узле (сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, покидающих его), в данном контексте означает, что длины сторон, сходящихся в узле, должны балансироваться. Второй закон, требующий, чтобы алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру равнялась нулю, обеспечивает сохранение пропорций и взаимосвязь размеров квадратов при обходе контура. Таким образом, исходная задача сводится к решению системы линейных уравнений, где переменными выступают длины сторон составляющих элементов разбиения.

Дальнейшие исследования привели, в частности, в 1978 году, к нахождению минимального разбиения квадрата на 21 меньший квадрат — решение, которое было получено посредством системы из 26 уравнений.

Подробно задача описана в книгах, которые легко найти в Интернете. Кстати, разбиение на 21 квадрат во время написания книг было неизвестно - компьютеров было не так много и они были слабыми.
Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения, 1971.
Яглом И.М. Как разрезать квадрат, 1968

За идею спасибо каналу "Математическая эссенция"
https://www.tgoop.com/math_essence

BY Mathematical Models of the Real World