Computer Science

Группы, кольца, поля и булевы алгебры — это основные структуры в абстрактной алгебре.

Кратко про каждую из них:

Группа
Это множество 𝐺 с операцией ∗, которая удовлетворяет четырем аксиомам:
1. Замкнутость: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ⇒ 𝑎∗𝑏 ∈ 𝐺
2. Ассоциативность: (𝑎∗𝑏)∗𝑐 = 𝑎∗(𝑏∗𝑐) для всех 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
3. Наличие единичного элемента: существует элемент 𝑒 ∈ 𝐺, такой что 𝑒∗𝑎 = 𝑎∗𝑒 = 𝑎 для всех 𝑎 ∈ 𝐺
4. Наличие обратного элемента: для каждого 𝑎 ∈ 𝐺 существует 𝑏 ∈ 𝐺 такой, что 𝑎∗𝑏 = 𝑏∗𝑎 = 𝑒

Кольцо
Это множество 𝑅 с двумя операциями + и ⋅, которые удовлетворяют следующим условиям:
1. (𝑅,+) — абелева группа.
2. Умножение ⋅ ассоциативно: 𝑎⋅(𝑏⋅𝑐) = (𝑎⋅𝑏)⋅𝑐.
3. Умножение дистрибутивно относительно сложения: 𝑎⋅(𝑏+𝑐) = 𝑎⋅𝑏 + 𝑎⋅𝑐 и (𝑎+𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎⋅𝑐+𝑏⋅𝑐.
Некоторые кольца имеют единичный элемент (не нулевой), а некоторые могут быть коммутативными (где 𝑎⋅𝑏 = 𝑏⋅𝑎).

Поле
Поле — это кольцо 𝐹 с дополнительными свойствами:
1. (𝐹∖{0},⋅) — абелева группа (каждый ненулевой элемент имеет обратный).
2. Умножение в поле коммутативно.
3. Все элементы поля, кроме нуля, имеют мультипликативный обратный.
Примеры полей: рациональные числа, действительные числа, комплексные числа.

Булевы алгебры
Булева алгебра — это структура, состоящая из множества 𝐵, элементов которого можно интерпретировать как логические значения (истина и ложь), и операций ∧ (конъюнкция), ∨ (дизъюнкция) и ¬ (отрицание), которые удовлетворяют следующим аксиомам:
1. Ассоциативность: 𝑎∧(𝑏∧𝑐) = (𝑎∧𝑏)∧𝑐 и аналогично для ∨.
2. Коммутативность: 𝑎∧𝑏 = 𝑏∧𝑎 и аналогично для ∨.
3. Дистрибутивность: 𝑎∧(𝑏∨𝑐) = (𝑎∧𝑏) ∨ (𝑎∧𝑐).
4. Наличие нейтральных элементов: существуют элементы 0 и 1, такие что 𝑎∧1 = 𝑎 и 𝑎∨0 = 𝑎.
5. Закон исключенного третьего: для любого 𝑎 a выполняется 𝑎∨¬𝑎 = 1.

www.tgoop.com/CScience1/2917

2.17K viewsOct 30, 2024 at 13:59

Группы, кольца, поля и булевы алгебры — это основные структуры в абстрактной алгебре.

Кратко про каждую из них:

Группа
Это множество 𝐺 с операцией ∗, которая удовлетворяет четырем аксиомам:
1. Замкнутость: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ⇒ 𝑎∗𝑏 ∈ 𝐺
2. Ассоциативность: (𝑎∗𝑏)∗𝑐 = 𝑎∗(𝑏∗𝑐) для всех 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
3. Наличие единичного элемента: существует элемент 𝑒 ∈ 𝐺, такой что 𝑒∗𝑎 = 𝑎∗𝑒 = 𝑎 для всех 𝑎 ∈ 𝐺
4. Наличие обратного элемента: для каждого 𝑎 ∈ 𝐺 существует 𝑏 ∈ 𝐺 такой, что 𝑎∗𝑏 = 𝑏∗𝑎 = 𝑒

Кольцо
Это множество 𝑅 с двумя операциями + и ⋅, которые удовлетворяют следующим условиям:
1. (𝑅,+) — абелева группа.
2. Умножение ⋅ ассоциативно: 𝑎⋅(𝑏⋅𝑐) = (𝑎⋅𝑏)⋅𝑐.
3. Умножение дистрибутивно относительно сложения: 𝑎⋅(𝑏+𝑐) = 𝑎⋅𝑏 + 𝑎⋅𝑐 и (𝑎+𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎⋅𝑐+𝑏⋅𝑐.
Некоторые кольца имеют единичный элемент (не нулевой), а некоторые могут быть коммутативными (где 𝑎⋅𝑏 = 𝑏⋅𝑎).

Поле
Поле — это кольцо 𝐹 с дополнительными свойствами:
1. (𝐹∖{0},⋅) — абелева группа (каждый ненулевой элемент имеет обратный).
2. Умножение в поле коммутативно.
3. Все элементы поля, кроме нуля, имеют мультипликативный обратный.
Примеры полей: рациональные числа, действительные числа, комплексные числа.

Булевы алгебры
Булева алгебра — это структура, состоящая из множества 𝐵, элементов которого можно интерпретировать как логические значения (истина и ложь), и операций ∧ (конъюнкция), ∨ (дизъюнкция) и ¬ (отрицание), которые удовлетворяют следующим аксиомам:
1. Ассоциативность: 𝑎∧(𝑏∧𝑐) = (𝑎∧𝑏)∧𝑐 и аналогично для ∨.
2. Коммутативность: 𝑎∧𝑏 = 𝑏∧𝑎 и аналогично для ∨.
3. Дистрибутивность: 𝑎∧(𝑏∨𝑐) = (𝑎∧𝑏) ∨ (𝑎∧𝑐).
4. Наличие нейтральных элементов: существуют элементы 0 и 1, такие что 𝑎∧1 = 𝑎 и 𝑎∨0 = 𝑎.
5. Закон исключенного третьего: для любого 𝑎 a выполняется 𝑎∨¬𝑎 = 1.

BY Computer Science