Авторка вместе с Артемием. Синий четырёхугольник гармонический. Доказать касание.

186 7/7. #алгем
Awesome ratio lemma, Ю. Нагуманов, осень 2024.
Решена мною в марте этого года.

Подробнее можно почитать в проекте ЛКТГ 2025 "Инварианты Понселе в свете cool ratio lemma".

Добрейшая задача

Дан треугольник ABC с ортоцентром в H. На окружности построенной на AH как на диаметре выбраны точки P и Q так, что PQ проходит через середину стороны BC. Докажите, что ортоцентр APQ лежит на описанной окружности ABC.

Дан треугольник ABC. Прямая l пересекает его стороны в точках D,E,F. P - проекция центра описанной на l. Докажите, что окружности (APD), (BPE), (CPF) соосны.

Разминка №92

ABCD- гармонический, R- точка пересечения диагоналей, L- основание биссектрисы из С. Окружность CRL пересекает описанную окружность ABCD в точке Y, а окружность ARL пересекает в точке Х. Докажите, что центр окружности XYR лежит на BD

Супер красивая задача (переформулировал задачу Iranian Third Round 2020 Geometry exam P4 по красивее).

Высоты AD, BE, CF треугольника ABC пересекаются в точке H. EF пересекает BC в точке K. AD вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. D' симметрично D относительно P. L - симметрия ортоцентра ABC относительно его центра описанной окружности. Докажите, что AKLD' лежат на одной окружности с диаметром KL.

Прикольная задача с Казанского матлагеря

Разминка №93

В треугольнике ABC на стороне BC выбирается произовольная точка D. E и F таковы, что DE, DF перпендикулярны AB и AC соответственно, AE и AF перпендикулярны AC и AB соответственно. Докажите, что радось (BDE) и (CDF) проходит через фиксированную точку, независящую от D.

Давно не было X57.

Ge' изогонально сопряжена точке жергона.

Почему теорема Чевы — вовсе не Чевы, а коники изучали за долго до Декарта и Паскаля?

Попробую, в качестве эксперимента, написать пост про историю математики.

Итак главный герой сегодняшнего повествования эмир Сарагоссы Юсуф аль-Мутамид. Известен он за счет того, что в период его правления государство Сарагоса достигло пика своего процветания, однако менее известно, что он также был довольно сильным математиком, астрономом и философом. В частности интересен его трактат "Книга совершенства и оптических проявлений", в которой он, в частности, за 600 лет до Чевы формулирует теорему названную его именем. Но обо всем по порядку.

Краткая историческая справка: Как известно с 731 до 1031 на юге Испании существовало такое государство, как Кордовский халифат (то 929 г. он назывался Кордовский эмират, но сути это особо не меняет). Кордовский халифат был исламским арабским государством. В начале 11 века в этом халифате произошел переворот, и новому правительству не удалось удержать власть. После чего Кордовский халифат распался на много эмиратов. Нас будет интересовать Тайфа Сарагоса (в дальнейшем Сарагоса) — один из эмиратов, просуществовавший до 1110. Не будем подробно вникать в историю этого государства, отметим только, что в 1081 на престол взошел тот самый Юсуф аль-Мутамид.


"Книга совершенства и оптических проявлений", на мой взгляд — одна из самых недооценённых математических книг за историю человечества. (Кстати она сохранилась в целости и оцифрована, так что её можно найти в интернете и почитать). Итак перечислим основные утверждения, описанные в этой книге: во первых были переоткрыты некоторые классические утверждения евклидовой геометрии (например окружность Аполлония, было придумано множество формул площади и т.д.), была сформулирована и доказана теорема Чевы, так же была решена задача Аполлония и приводились интересные построения циркулем и линейкой не очень классических конструкций, получил более хорошие оценки на число π, но самое шокирующее — это 4 глава этого трактата, описывающая геометрию Коник. Этим математиком была придумана конструкция вокруг сфер Данделена и дано описание конических сечений через конус за долго до вышеупомянутых ученых. Решалась (правда доказательство очень не строго) задача о построении на конике точки с минимальным расстоянием до заданной и многие другие подобные утверждения.


Почему же так произошло, что об этом никто не знает?
Ответ как всегда: книга Юсуфа аль-Мутамида была утеряна после захвата Сарагосы в 1110. Найдена она была лишь в 1985 году.

Дана равнобокая гипербола с центром в O и произвольные точки A и S на ней. Пусть окружность на OA как на диаметре пересекает асимптоты в точках P и Q. Прямая параллельная AS через O пересекает PQ в точке Y, я окружность на AO как на диаметре вторично в X. Докажите, что XY*SA не зависит от выбора S.


Авторская по мотивам исследований Юсуфа аль Мутамида