У трикутнику АВС точки X та Y обрано на відрізках DE та CI відповідно таким чином, що 2∠XAY =∠BAC.
Доведіть, що ∠YXA = 90°.

Класика

Дано трикутник АВС із інцетром І та серединою сторони ВС точкою М. Доведіть, що якщо МІ перетинає висоту АН у точці Q, то довжина AQ рівна радіусу вписаного кола трикутника АВС.

У коментарях @wargkul запропонував такий класний факт.

STEM-гурток Кванта відкриває реєстрацію: онлайн та офлайн формати.

Починається новий навчальний рік, а отже і гурток Кванта очікує учнів на своїх заняттях 🐈
На світлині ви можете ознайомитись з доступними олімпіадними дисциплінами. Також гурток має надію відродити офлайн формат в Києві, це було б дійсно дуже класно.

За посиланням ви зможете дізнатись більше деталей про гурток та знайти форму реєстрації.
Поспішайте, реєстрація триває до 7 вересня!)

Вітаємо команду України з домінуючим виступом на командному змаганні МЕМО-2025 (перше абсолютне місце в командному заліку з відривом в задачу), та чудовими результатами в індивідуальній частині:

Пригунов Володимир: 8 8 8 8 – 32 🥇
Гіщак Остап: 8 8 8 8 – 32🥇
Сидоренко Катерина: 8 8 8 0 – 24 🥈
Балан Дарія: 1 7 2 3 – 13
Гончаренко Вікторія: 1 3 8 0 – 12 HM
Кобзаренко Микола: 1 3 8 0 – 12 НМ

(На цій олімпіаді 8 - максимальний бал за задачу)

Team Leader – Михайло Штанденко
Deputy Leader – Марина Чігідіна

Вітаємо усіх переможців!!!

Грайлива 🥏

Дано чотирикутник ABCD в якому ∠A =∠C. На діагоналі BD обрано точку X таку, що AX = XC.
Доведіть, що ∠BAC = XCD та ∠ACB =∠XAD.

Вечірня 😴

В трикутнику АВС точки D, E, F – основи висот. Нехай EF перетинає описане коло АВС у точці Р, де F знаходиться між Е та Р. Прямі PB та DF перетинаються в точці Q. Доведіть, що якщо ED=EP, то CQ і DP паралельні.

У трикутнику ABC точки O i H — центр описаного кола та ортоцентр вiдповiдно. Серединний перпендикуляр до CH перетинає сторону AC у точцi X. Пряма XO перетинає вiдрiзок AB у точцi P. Довести, що PA = PX.

Червоні відрізки — це спільні дотичні (внутрішня та зовнішня) до відповідних кіл.
Доведіть, що рожева точка лежить на лінії центрів.

Проста але симпатична задача.

Дано трикутник АВС в якому медіана СМ рівна висоті АН. Знайдіть величину кута між медіаною СМ та стороною ВС.

Дано чотирикутник ABCD з рівними діагоналями, що перетинаються у точці E. Кола (AEB) та (CED) перетинаються у точці K. Точка О — центр описаного кола трикутника AED.
Доведіть, що OK⊥BC.

Дано трикутник АВС з інцентром І, висотою АН та радіусом вписанного кола r. Q — точка на висоті АН, така що AQ=r, а Q-медіани трикутників QBH, QCH перетинають ВІ та СІ відповідно в точках U, V. Доведіть, що NU, MV, AH перетинаються в одній точці.

(Михайло Сидоренко)