Няшная задачка

На боковых сторонах треугольника взяли точки X и Y так, что они лежат на одной окружности с двумя вершинами. Пусть точки M, N, K – середины боковых сторон. Прямые XM и YN пересекаются в P. Прямая PK пересекает боковые стороны треугольника в голубых точках.
(!) Зелёная прямая касается зелёной окружности

Не няшная задачка

На серединном перпендикуляре к нижней стороне выбрана точка. Оранжевые окружности касаются зелёных прямых (соединяющих эту точку с вершинами) и боковых сторон треугольника в их серединах.
(!) Точки пересечения внешних касательных к этим окружностям с нижней стороной треугольника лежат на изогоналях относительно верхнего угла треугольника

Теории пост. Прощальный пост.

В планиметрии есть много методов решить задачу: всякие теоремы, трюки, стандартные картинки, какие-то продвинутые техники. А что можно сказать насчет стереометрии? Там запас этого всего добра урезается в десятки раз. Может, всякие аналоги лемм о воробьях, о велосипедистах и т.д. есть, но они очень малоизвестны и далеко не очень полезны. В стереоме чаще требуются рассуждения про доп. построения, анализ картинки, рассматривание каких-то пересечений плоскостей/проекций, сведений к плоской задаче. Есть конечно аналог радикальных осей, например, но это тоже не очень частый метод.

Тем не менее, все-таки один продвинутый трюк есть.

Забавно, что обычные проективные коники и теоремы на них вполне обобщаются в пространство. В пространстве верны аналоги леммы Соллертинского, теоремы Брианшона и понятие поляры относительно квадрики (причем даже определено не только понятие поляры точки, но и поляры прямой).

Определение. Квадрика – поверхность в пространстве, задающаяся уравнением F(x, y, z) = 0, где deg(F) = 2.

Определение. Полярой точки X относительно квадрики K называется плоскость, проходящая через основания всех касательных из X к K.

То, что основания касательных из X к K лежат в одной плоскости неочевидно, но это правда. Ещё заметим, что поляра X относительно K высекает на K конику.

Однако сейчас нас будет интересовать случай, когда квадрика – сфера, а высекаемая коника – окружность.

Сперва поговорим о стереографической проекции.

Определение. Пусть Г – сфера, O – её центр, а p – некоторая плоскость. Прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная p, вторично пересекает Г в точке N (N находится дальше от p, чем вторая точка пересечения). Пусть Х – произвольная точка сферы, а NX пересекает p в точке Y. Стереографической проекцией Г на p будем называть отображение Г -> p при котором X -> Y.

Это отображение – биекция между Г (без точки N) и p. Также заметим, что на самом деле, это просто инверсия с центром N при которой Г переходит в p (инверсия, суженная на Г). Она переводит окружность, не проходящую через N, в окружность, а окружность, проходящую через N, в прямую. Уже сам этот факт является довольно полезным и помогает решать некоторые сложные задачи. Например, это сильно помогает в P5 устной олимпиады по геометрии 2015 года 10-11 класс. (рис. 1)

Но мы пойдем дальше.

Определение. Полярной окружностью точки X относительно сферы Г называется окружность, проходящая через основания касательных из X к Г. Будем обозначать эту окружность p(X).

Получаем биекцию между точками R³ и окружностями на сфере.

Теорема.
1. Прямая AB касается сферы Г <=> p(A), p(B) касаются.
2. Плоскость (ABC) касается Г <=> p(A), p(B), p(C) имеют общую точку.
(рис. 2 и 3)

Мысль. Отображение X -> p(X) позволяет сопоставлять стереометрической задаче конфигурацию окружностей на сфере. Совершая затем стереографическую проекцию, мы получаем плоскую задачу, решив которую, мы решим и исходную трехмерную задачу. Также можно совершать эти действия в обратном порядке, проектируя плоскую задачу на сферу и затем возникающие окружности отображая в точки.

И вот это уже мощный интрумент для решения задач.

Пример. Около сферы Г описана четырёхзвенная ломанная ABCD. (рис. 4)
(!) Четыре точки касания её сторон со сферой лежат в одной плоскости
Доказательство. Мы знаем, что p(A), p(B), p(C), p(D) попарно касаются. Скинем это все стер. проекцией на плоскость. Получим известную простую задачу: четыре окружности на плоскости попарно касаются, тогда точки касания лежат на одной окружности. Проектируя обратно, получаем, что точки касания не просто лежали в одной плоскости - они еще и на одной окружности.

У этой задачи есть другие решения (например, пространственный менелай).

Есть еще более сложные примеры. И вот, собственно, задача Вам.

Скрытая 10.9 Шарыгинки 2024

Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, которая касается сферы Г. Точка A' такова, что тетраэдр BCDA' описан около Г. Аналогично определим B', C', D'. (рис. не требуется)
(!) A', B', C', D' лежат в одной плоскости

(Ухожу в отпуск на x лет)

Наверное, уже по традиции, ночной факт

(!) Направление прямой гаусса изогонально направлению на точку Микеля относительно любого угла четырёхугольника

Утренняя разминка

Ещё придумал простенькую задачку на прямую Гаусса
(!) Параллельность красных прямых

Я уже писал о том, что некоторые проективные вещи и утверждения верны и в пространстве. Вот пример задачи на них.

Даны скрещивающиеся прямые m₁, m₂, m₃, m₄. Оказалось, что существует прямая, которая их пересекает.
(!) В общем случае найдется ещё хотя бы одна такая прямая

(Нет я не вышел с отпуска, просто щас начнется небольшое веселье с кониками и квадриками)

Начнем-ка небольшую серию постов про коники, завязанную на моей курсовой

Пусть A₁A₂...A₂ₖ – это 2k-угольник Понселе на КОМПЛЕКСНОЙ проективной плоскости, вписанный в конику К и описанный около коники Г.
(!) Прямые AᵢAᵢ₊ₖ
пересекаются в одной точке, причем эта точка не зависит от выбора A₁ на К

(Выше картинка для восьмиугольгика)

Задача для начинающих

На прямой взяли произвольные точки A, B и C. Точки X и Y таковы, что треугольники ABX и BCY равнобедренные (как на рисунке). Точка Z дополняет треугольник BXY до параллелограмма.
(!) Треугольник ACZ тоже равнобедренный

Красивая задача от Петра Кима

(Рыжие прямые – касательные, одна из которых параллельна левой стороне, а другая проведена из точки пересечения полувписанной окружности с нижней стороной)
(!) Голубая окружность касается стороны