Типа теорема о 3 колпаках для дважды касающихся коник

Забавный факт

Симпатичная задача

Черная окружность и треугольник произвольные. Если прямая и точка одного цвета, то они поляра и полюс относительно этой окружности.

(!) Точки пересечения поляр со сторонами треугольника лежат на одной прямой

Треугольник ABC произвольный. Точки Х и У таковы, что ∠BIY = ∠BXY = 120°.

(!) XI – биссектриса угла ВXY

На этой недельке вместе с Андреем Кушниром давали в ЛМШ Л2Ш геому, хочу выделить серию из 3 листков по гиперболам. Там, в принципе, идет путь от самых базовых свойств до довольно продвинутых задач. Думаю, вам будет интересно)

Задача на картинке: в треугольнике ABC точки P, Q изогонально сопряжены, а I – инцентр.

(!) Прямые, симметричные AP, AQ относительно PI, QI пересекаются на BC.

Прикрепляю оставшиеся листки с ЛМШ от Андрея Кушнира, Вовы Конышева и Маши Плотниковой.

Тут есть интересные листики как для обучающихся в старшей школе, так и для 8-9 классов.

Моя задача с олимпиады Шарыгина.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Через точки A, B, C, D проведена произвольная коника. Рассматривают четыре прямые, получающиеся после изогонального сопряжения этой коники относительно треугольников ABC, ABD, BCD, ACD.

(!) Четырёхугольник образованный этими прямыми – описанный

Напишу мое решение. На мой взгляд, довольно красивое. Насколько я знаю, во время тура никто так задачу не сдавал.

Двигаем конику в пучке проективно (в пучке коник можно ввести двойные отношения; к примеру, можно взять любую точку и двойное отношение ее поляр относительно четырех коник из пучка, или мыслить коники как точки в P⁵). В силу того, что изогональное сопряжение сохраняет двойные отношения, наши 4 прямые будут проективно вращаться; ясно, что вокруг бесконечно удаленных точек. Поэтому они линейно зависят друг от друга (проективная точка движется линейно <=> в бесконечный момент времени она залетает на бесконечность). Биссектрисы углов нашего четырехугольника движутся линейно. Надо проверить 2 положения. Положения парабол очевидны.

Upd. Ещё есть такое необычное решение (crl)

Устная олимпиада по геометрии 2025

Вдохновившись опытом предыдущего года, мы решили сделать устную олимпиаду по геометрии НИУ ВШЭ традиционной!

В этом году олимпиада проводится для учеников 8–11 классов в трёх параллелях: 8, 9 и 10–11 классов.

Чтобы не утруждать вас отборами, сразу на заключительный этап допускаются дипломанты любых перечневых олимпиад по математике.

Если дипломов ещё нет, то несложный отбор всё-таки придётся пройти. Подробности о том, как он проходит, можно найти на сайте. Там же можно найти задания и решения олимпиады прошлого года и другую полезую информацию.

Для участия необходима предварительная регистрация, доступная по ссылке.

(Если планируете участвовать, то зарегаться лучше сейчас, так как сайт вышки имеет свойство уходить на тех. обслуживание в рандомный момент времени)