Задача 16:
Автор - GeoGen, Чуев Савва, Пучков Пëтр

ABC - равнобедренный треугольник с основанием AB. Точки D и E на AC и BC соответственно таковы, что DE перпендикулярно AB.
Докажите, что точка пересечения BD и AE лежит на радикальной оси окружностей (ABC) и (DCE)

Задача 17:
Автор - GeoGen, Ким Пётр

Дан гармонический четырёхугольник ABCD. Касательные к его описанной окружности w в точках B и D пересекаются в точке E. На отрезке BD выбрана точка K, а на дуге BCD точка L такая, что угол BAK равен углу DAL. Окружность (EKС) пересекает вторично прямую AK в точке P.
Доказать, что окружность (EPL) проходит через 2 точки, не зависящие от выбора точек K и L.

Задача 18:
Автор - GeoGen, Пучков Пëтр

I - центр вписанной окружности треугольника ABC, D, E, F - точки касания этой окружности со сторонами BC, AC, AB соответственно. T - вторая точка пересечения окружностей (EAF) и (ABC). O - центр (ABC).
Докажите, что точка пересечения OT и DI лежит на средней линии треугольника ABC

Задача 19:
Автор - GeoGen, Пучков Пётр

Вписанная окружность треугольника ABC с центром в I касается его стороны BC в точке D. Точка E такова, что EAID - параллелограмм, M - середина BC. Описанная окружность треугольника AEM пересекакт прямую AD в точках A и H.
Докажите, что угол IHM - прямой.

Задача 20:
Автор - Чуев Савва

В треугольнике ABC на высоте, опущенной из A, выбрана точка P, а Q - изогонально сопряженная к ней. X и Y - проекции точки Q на прямые AC и AB соответственно.
Докажите, что прямые, проходящие через B и C, а также перпендикулярные XP и YP соответственно, пересекаются на прямой AP.

Комментарий:
Эта задача является обобщением задачи из паблика "Олимпиадная геометрия", выложенной 28го августа.

Задача 21:
Автор - GeoGen, Забазнов Григорий*

В треугольнике ABC H - ортоцентр. Окружность w1, построенная на AH как на диаметре пересекает описанную окружность ABC w в точке P. M - середина BC. На w1 и w соответственно выбраны точки K и L так, что углы CAK и BAL равны.
Доказать, что четырёхугольник PKLM - вписанный.

Задача 22:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. T - ортоцентр треугольника BOC.
Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников BOC и AOT.

Задача 23:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

В треугольнике ABC отмечены точки H и O - ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Прямая AH пересекает (ABC) в точках A и D. O' - центр (BOC).
Докажите, что точка пересечения прямых OH и O'D лежит на радикальной оси окружностей (ABC) и (AOH).

Задача 24:
Автор - Игнатьев Даниил
Источник - Южный математический турнир 2023

Пусть в треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A1 и B1 соответственно. Точки A2 и B2 - диаметрально противоположны точкам A1 и B1 на вписанной окружности.
Докажите, что центр окружности (AA2B1) лежит на (ABC) тогда и только тогда, когда центр окружности (BB2A1) лежит на (ABC).

Задача 25:
Автор - Терёшин Александр
Источник - Южный математический турнир 2023

Пусть точка A1 — середина меньшей дуги BC описанной около остроугольного треугольника ABC окружности. Точку A1 отразили относительно стороны BC, а затем её образ отразили относительно биссектрисы угла BAC и получили точку A2. Аналогично получили точки B2 и C2.
Докажите, что прямая Эйлера треугольника A2B2C2 проходит через центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Задача 26:
Автор - Ким Пётр
Источник - Южный математический турнир 2023

Точка S вне описанной окружности w вписанного четырёхугольника ABCD такова, что (AS+BS)/AB = (CS+DS)/CD. Доказать, что существует окружность, касающаяся AB, CD, окружностей ASB, CSD.

Недавно число подписчиков нашего канала перевалило за 200, поэтому сегодня у нас несколько необычный пост. Я собираюсь рассказать про то, что такое GeoGen, как он примерно устроен, и как мы используем его для генерации задач. Чтобы этот пост не был чисто текстовым, выкладываем небольшую задачку.

Задача 27:
Автор - GeoGen, Пучков Пётр

В треугольнике ABC AL - биссектриса, а точки X и Y - проекции L на AB и AC. Докажите, что BY и CX пересекаются на высоте из вершины A

1. Что такое GeoGen и какие задачи он может сгенерировать?
GeoGen - это программа, которую написал PatrikBak, предназначенная для генерации задач по геометрии.

Каждая задача в терминах GeoGen - это исходная конструкция (например, треугольник или прямоугольный треугольник, или четырёхугольник, или вписанный четырёхугольник...) + последовательность построений + факт, который нужно доказать (3 прямые пересекаются в одной точке, 3 точки лежат на одной прямой, касание прямой и окружности...)
Построения записываются на формальном языке (строчки вида <объект> = <построение>(<точка_1>, <точка_2>,...))
Набор доступных построений ограничен (см. список построений). Доступны только базовые построения, а, например, построить точку Лемуана в одну строчку не получится.

2. Как происходит процесс генерации со стороны пользователя?
GeoGen принимает на вход текстовые файлы с описанием исходных построений, списком разрешённых построений (это те построения, которые GeoGen будет делать при генерации задачи) и количеством итераций (сколько построений он сделает). Например, задача на картинке была получена из такого входного файла: дан треугольник ABC, I - центр вписанной окружности, D, E, F - основания биссектрис, H - ортоцентр ABC. Разрешённые построения: отметить середину отрезка (по 2м точкам), отметить центр вписанной окружности (по 3м точкам), отметить ортоцентр, отметить проекцию точки на прямую по двум другим точкам (принимает 3 точки). Количество итераций - 2
Далее запускается GeoGen и через некоторое продолжительное время он создаёт файлики с задачами, описанными на этом формальном языке.
3. Что происходит внутри GeoGen?
GeoGen ищет задачи полным перебором конструкций. После того, как мы дали ему исходную конструкцию и список возможных построений, он рассматривает все возможные конструкции, которые можно получить из исходной, строя объекты указанным способом, за указанное число построений. В каждой из них он перебирает все возможные факты и проверяет их на верность. Факт считается верным, если он верен для достаточного числа случайных расположений исходных точек.
Тут многим уже становится понятно, что достаточно сложные конструкции таким способом анализировать нельзя - слишком много времени уйдёт.
GeoGen - это очень сложная программа. Она перебирает не все конструкции и не рассматривает две конструкции, если они отличаются симметрией или порядком построений (т.е.. с геометрической точки зрения это одна и та же конструкция)
4. Как мы улучшили работу GeoGen?
Мой друг Илья Смирнов написал приложение Geometry - это такой аналог GeoGebra, в котором все построения можно проводить только на формальном языке (но зато есть некоторые дополнительные возможности)
Наверное, читая 2ой пункт вы удивились, узнав, что условие задач пишется на странном формальном языке, а, увидев слово "формальный" второй раз что-то заподозрили. Действительно, Илья Смирнов написал скрипт, который позволяет задачи, сгенерированные GeoGen сразу открыть в Geometry. Это сильно упрощает поиск интересных задач.
Следующая проблема, с которой мы столкнулись, это то, что многие задачи тривиальны и не используют особые свойства точек (т.е. обобщаются). Например, в результате долгих построений был построен очень интересный треугольник, в котором мы отметили середины сторон и хотим доказать, что его медианы пересекутся в одной точке. Ну такая задача нам не нужна.
Поэтому я написал другой скрипт, который анализирует задачи, сгенерированные GeoGen и маркирует их как обобщаемые и необобщаемые. Так количество неочевидных задач, которые мы находим сразу сильно выросло.
5. Открытый вопрос
Несмотря на то, что мы с Ильёй сильно улучшили качество генерации задач, по-настоящему сложные построения GeoGen обработать не сможет. Поэтому возникает закономерное желание или подредактировать исходный код проекта, или переписать его заново с добавлением новых возможностей, а именно: возможность добавлять пользовательские построения, возможность запрещать использовать точку при построениях (если она была вспомогательной, то зачем ей быть в задаче). Понятно, что при переписывании скорость работы может заметно снизиться (по предварительным подсчётам в 10 раз). Поэтому пока я не решаюсь начинать такой проект один и ищу людей, заинтересованных в подобной деятельности. В основном нужно будет или очень хорошо уметь программировать, или придумать, как правильно организовать перебор конструкций с учётом симметрии

Задача 28:
Автор - Чуев Савва

В треугольнике ABC AD - высота. E и F - случайные точки на прямых AC и AB соответственно. Окружности (BFD) и (AED) пересекаются в точках D и X, а окружности (CED) и (AFD) пересекаются в точках D и Y.
Докажите, что прямые EX и FY пересекаются на высоте из точки A треугольника ABC.

Задача 29:
Автор - GeoGen, Пучков Пëтр

В треугольнике ABC AD - биссектриса, P - произвольная точка на прямой AD. E - точка пересечения PB и AC, F - точка пересечения PC и AB. X, Y, Z - середины AD, BE, CF соответственно. Прямая ZY пересекает BC в точке L, а K - проекция X на ZY.
Докажите, что точки A, K, D, L лежат на одной окружности.

Задача 30:
Автор - GeoGen, Чуев Савва

Ia, Ib, Ic - центры вневписанных окружностей в треугольнике ABC напротив вершин A, B, C соответственно. P и Q - ортоцентры треугольников BAIc и CAIb. R - точка пересечения прямых PIc и QIb.
Докажите, что описанные окружности треугольников PQR и IaIbIc касаются.

Задача 31:
Автор - Чуев Савва

Окружность ω с центром O касается внутренним образом окружности Ω. Хорда AB окружности Ω касается ω в точке C. W - середина той дуги AB окружности Ω, которая не содержит точку касания ω и Ω. X и Y - проекции точки C на прямые AW и BW соответственно. Ζ - точка пересечения прямых AO и CX, T - точка пересечения прямых BO и CY.
Докажите, что точки X, Y, Z, T лежат на одной окружности.

Ещё немного про генерацию задач, а точнее про то, как мы их обобщаем

Как вы уже знаете, любая задача в контексте GeoGen - это исходная конструкция, потом какие-то построения, потом факт, который нужно доказать.
Как работает скрипт, который обобщает задачи?
Он пытается любое одно построение заменить на его общий случай (*). Всё остальные построения остаются неизменными. Далее полученная новая задача проверяется на корректность (если маленькая погрешность в 8 из 10 случайных положений исходных точек). Если обобщение удалось, то мы говорим, что это плохая задача и помечаем еë
Соответственно есть следующие проблемы:
1) (*) Проблема со способом обобщения. Мы пытаемся выкинуть условие на точку, например, для середины дуги мы заменяем еë на случайную точку на описанной окружности, или на произвольную точку на биссектрисе.
Понятно, что далеко не все задачи, которые можно обобщить, обобщатся таким способом
2) Некоторые задачи, предложенные в канале, обобщались и почему-то не были распознаны программой. Это происходит из-за недостатка точности вычислений. Например, на начальном этапе разработки моя программа любую вписанность считала неверной и не могла обобщить задачу, если в ней нужно доказать вписанность. Сейчас мы увеличили точность вычислений, но еë всë равно не всегда хватает (задача 5, например, не обобщилась из-за нехватки точности)

Задача 32:
Автор - Ким Пётр, GeoGen

В треугольнике ABC I - инцентр, K - середина дуги BC, не содержащей A. L - середина дуги BC, содержащей A. M - середина IK, а N - середина LM.  D - точка касания вписанной окружности и стороны BC. KD вторично пересекает окружность (ABC) в точке S.
Доказать, что (ISD) касается (AMN)